無限の果てに何があるか 足立恒雄 知恵の森文庫
哲学的な意味合いにおいて「無」という概念には大いに興味をそそられるものがある。「無限」という概念は、その「無」の対極にあるものとして、又、対極にあると思われるものの、どうも「無」と同質性をもった概念として、これまた非常に興味をそそられる。
本書の帯には「文科系のあなたへ」とあり、又、「無限に魅入られた数学者たち」を読んでカントール・ゲーデルの「無限」への思索の苦闘を知ったこともあり手にとってみた。
期待に違わぬ実に分かり易い解説に、又、一歩「無限」に近づけた気分になれた。「無限」といっても、物理学上で取り扱われる無限、例えばこの宇宙の無限の果てはどうなっているのかとか、哲学的思考における無限、宗教的意味合いにおける無限、例えば「輪廻転生」とか「浄土」とかいった、さまざまな概念があるが、本書は数学において「無限」はどのように扱われているかを説いた物だ。
最終的に現代数学がたどり着いた最高峰であるゲーデルの「不完全性定理」によって「無限」はどのように記述論証されるかを分かり易く解説するために、著者は数学的論理構成、複素数、1＋１が何故2になるのかといった数学体系の基礎から説き起こし、又、必然的にその中で、ギリシャ時代のユークリッド幾何学からの現代数学までの歴史を説く。その内容は、できない生徒に一生懸命わからせようとして教えてくれる教師を思いださせる情熱に溢れたものだ。
そもそも数学とは天与の現象を解明しようとする物理学とは違い、純粋に人間が構築した論理体系である。その論理体系の構築の中から、ルート２やπといった数字が出てくることなど、何とも目からウロコの思いがする。
無限には「実無限」と「仮無限」（という考え方）があること、すなわち数えられる無限と、数えられない無限があること、そしてゲーデルが解いた「不完全性定理」によれば最終的に数学の論理の無矛盾性はそれ自身では証明できないという結論に達する事など、これまた文科系にとっても分かり易く解説されているのが、何とも嬉しくなる。
（02年4月発行）