不完全性定理とはなにか　　　　　竹内薫　　　　　　講談社　　　

この宇宙におけるあらゆる事象は、自然の規則に則って動いている。それはあらゆる物理的事象ばかりではなく、人間の感情などにおいても当てはまるはずで、その規則はいつかは解明しつくされはずだ−−−という考え方は、古代ギリシャのピタゴラスにはじまり、デカルトをはじめとする多くの思想家、そして現代最先端の科学研究に携わる人々をはじめとする多くの現代人の思想の根幹を占めてはいないだろうか。

「全ての事象には法則があり、その法則は証明という方法によって真であることが立証できるはずだ」という近代思想の根幹をなすある種の「信念」に、冷水をあびせたのが、ゲーデルによる「不完全性定理」の発見である。不完全性定理とは要約すれば、「真であるからといって、証明ができないことがらがある」ということだ。

「正しいのなら必ず証明できるはずだ」という信念を打ち砕くこの定理は、「人知ではどうしても到達しえない世界がある」ことを示唆しているとも取れる訳で、「神の存在を証明してみろ！」と無神論者に言われて窮していた、狂信者達を勇気付けてしまったというところはあるが（ゲーデルの意図とは全く関係ないが）、いやむしろ、人類が自らの智の限界を自分自身で知ったということこそ、「全能」などといわれる「神」よりも、人智の方が優れていることの証左なのだ、と考えることもできる。

本書は無限集合の濃さに関するカントールの集合論、連続体仮説、それにチューリングによるチューリング機械の停止問題をベースにしてゲーデルの不完全性定理にいたる論理思考を辿るという解説書で、一般の数学好き（といっても、ある程度の基礎知識はいるが）向けに易しく書かれていておおいに参考になる。

無限にも階層（濃さ）がある（無限に続く自然数と、無限に続く実数ではその無限の「濃さ」が違う、といった）という結論に至ったカントールの対角線論法、そして連続体仮説にいたる論理過程の見事さなどは、数多くの無限に関する解説書に比べてより分かり易くなっている。

文庫本、一冊ではとても不完全性定理そのものの意味するところを完璧に解説することは難しいが、巻末にかなり丁寧な無限及び不完全性定理に関する読書案内が掲載されているので、より深く知りたい人にとっては有益であろう。